Explicando a produtividade marginal dos fatores de produção

Introdução

É bem comum se deparar com manuais de teoria econômica ou com estudos econômicos aplicados que utilizam a derivada da função de produção como uma medida para a produtividade marginal dos fatores de produção. No entanto, o mais correto seria tratar esta derivada como sendo o produto marginal dos fatores, o qual informa a variação marginal do produto dada uma variação marginal no fator de produção específico. Usando este mesmo conceito, a produtividade marginal de um fator de produção deve esboçar o quanto a produtividade total muda marginalmente em decorrência de uma alteração marginal no uso deste fator de produção. Neste breve post, busco mostrar de maneira didática uma alternativa factível para a produtividade marginal dos fatores.

Detalhes da tecnologia de produção

Considere um produtor representativo racional que produz um produto Y usando apenas dois fatores de produção, o capital (K) e o trabalho (L). Suponha que este produtor opera de acordo com uma tecnologia de produção do tipo Cobb-Douglas, tal que:

Y=KαL1−α

Em que 0≤α≤1 é o parâmetro de compartilhamento da tecnoologia de produção que expressa a participação do capital nos custos.

Modelando a produtividade

Para um fator de produção específico, a sua produtividade pode ser expressa como a quantidade de produto decorrente unicamente do uso deste fator. Em termos formais, a produtividade de um insumo pode ser medida como a razão entre o produto total e a quantidade utilizada deste insumo. No caso deste esboço, a produtividade do capital (δk) pode ser expressa como:

δk=YK

δk=KαL1−αK

δk=(LK)1−α

A produtividade do trabalho (δL), por sua vez, pode ser escrita como:

δL=YL

δL=KαL1−αL

δL=(KL)α

A produtividade total dos fatores de produção (δ) é a soma da produtividade individual de cada fator. Portanto:

δ=δk+δL

δ=(LK)1−α+(KL)α

δ=(LK)(KL)α+(KL)α

δ=(KL)α[LK+1]

δ=(KL)α[L+KK]

A produtividade marginal do capital

Para encontrar uma medida para a produtividade marginal do capital, basta derivar a produtividade total dos fatores em relação ao insumo capital, obtendo:

∂δ∂K=PmgK=αKα−1(1L)α[L+KK]+(KL)α[K−(L+K)K2]PmgK=α(1K)(KL)α[L+KK]−L(1K)2(KL)αPmgK=α(1K)2(KL)α[L+K]−L(1K)2(KL)αPmgK=α(1K)2(KL)α[L+K−L]PmgK=α(1K)2(KL)αKPmgK=α(1K)(KL)αPmgK=α(1K)1−α(1L)α

Note que PmgK≠∂Y∂K. Porém, note que PmgK=∂Y∂K/L, uma vez que:

∂Y∂K=αKα−1L1−α∂Y∂K=α(1K)1−αL1−α∂Y∂K/L=α(1K)1−αL1−αL∂Y∂K/L=α(1K)1−αL−α∂Y∂K/L=α(1K)1−α(1L)α

Note que a produtividade marginal do capital cai sempre que há um aumento na quantidade de insumos utilizadas no processo de produção.

A produtividade marginal do trabalho

Para encontrar uma medida para a produtividade marginal do trabalho, basta derivar a produtividade total dos fatores em relação ao insumo trabalho, obtendo:

∂δ∂L=PmgL=α(KL)α−1(−KL2)[L+KK]+(KL)α[KK2]PmgL=(KL)α[1K]−α(KL)α−1(1L2)[L+K]PmgL=(KL)α[1K]−α(KL)α(LK)(1L2)[L+K]PmgL=(KL)α[1K]−α(KL)α(1K)(1L)[L+K]PmgL=(KL)α[1K][1−α(L+K)L]PmgL=(KL)α[1K][L−α(L+K)L]PmgL=(KL)α[1K][L(1−α)−αKL]PmgL=(1L)α+1[1K]1−α[L(1−α)−αK]

Note que PmgL≠∂Y∂L. Note também que neste caso ∂Y∂L/K≠PmgL, indicando que tomar a derivada da função de produção e em seguida tomar a razão entre o resultado e a quantidade utilizada dos demais insumos nem sempre é uma boa aproximação para a produtividade marginal do fator de produção.

Visualização da produtividade marginal dos fatores

Para representar graficamente a produtividade marginal do capital, considere um caso fictício em que α=0.5 e suponha um horizonte de curto prazo com o insumo trabalho fixo em L=ˉL=50.

pmgk = function(a, k, l){
  return(
    a*((1/k)**(1-a))*((1/l)**a)
  )
}


K = c()

for(i in 1:100){
  K[i] = pmgk(a = 0.5, k = i, l = 50)
}


ggplot() +
  geom_line(aes(x = 1:100, y = K), col = "blue", size = 1.1)+
  theme_bw()+
  ylab("Produtividade marginal do capital") + 
  xlab("Total utilizado do insumo capital")
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## i Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

Para representar graficamente a produtividade marginal do trabalho, considere o mesmo caso fictício denotado para a produtividade marginal do capital.

pmgL = function(a, k, l){
  return(
    ((1/l)**(a+1))*((1/k)**(1-a))*(l*(1-a) - a*k)
  )
}


L = c()

for(i in 1:100){
  L[i] = pmgL(a = 0.5, k = i, l = 50)
}


ggplot() +
  geom_line(aes(x = 1:100, y = L), col = "blue", size = 1.1)+
  theme_bw()+
  ylab("Produtividade marginal do trabalho") + 
  xlab("Total utilizado do insumo capital")

Conclusão

Utilizar a derivada da função de produção como medida para a produtividade marginal do fator de produção pode retornar um valor superestimado para a verdadeira produtividade marginal dos fatores dado que produto marginal é um conceito diferente de produtividade marginal.